基本
必要十分条件
集合
いろいろな集合
- $\mathbb{N}$:自然数の集合
- $\mathbb{Z}$:整数の集合
- $\mathbb{Q}$:有理数の集合
- $\mathbb{R}$:実数の集合
- $\mathbb{C}$:複素数の集合
上界・下界・上限・下限
順序関係が与えられた $X$ の部分集合 $A \subseteq X$ について
- $X$ の元 $x_0$ が $A$ の上界である
$\Leftrightarrow$
$A$の任意の元$a$に対して
$a \le x_0$ であること。
$(\forall a \in A) \;\; (x_0 \le a)$
- $A$は上に有界である
$\Leftrightarrow$
$A$の上界全体の集合 $U[A]$ が空集合でない。
$U[A] \ne \phi$
- $A$の上限、$\sup (A)$ :
$U[A] \ne \phi$ のとき $U[A]$の最小元。
$\sup (A)=\min\{ U[A]\}$
- $X$ の元 $y_0$ が $A$ の下界である
$\Leftrightarrow$
$A$の任意の元$a$に対して
$y_0 \le a$ であること。
$(\forall a \in A) \;\; (y_0 \le a)$
- $A$は下に有界である $\Leftrightarrow$
$A$の下界全体の集合$L[A]$が空集合でない
$L[A] \ne \phi$
- $A$の下限、$inf(A)$:
$L[A] \ne \phi$ のとき $L[A]$の最大元。
$\inf (A) = \max \{ L[A]\}$