行列の固有値
行列 $A \in C^{n \times n}$ の固有値、固有ベクトルは次で定義される。
\begin{align}
A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
\end{align}
- $\lambda$ : 固有値
- $\boldsymbol{x}$ : 固有ベクトル
いろいろな式
特性（固有）方程式
固有値 $\lambda$ は次の方程式を満たす。
\begin{align}
\det (\lambda E - A) = 0
\end{align}
この方程式を $\chi_A(\lambda)=0$ と書く。
行列の多項式など
\begin{align}
& p(A) = c_0 A^m + c_1 A^{m-1} + \cdots + c_{m-1} A + c_m E_n \\
& e^A = \left( \sum_{m=0}^\infty \frac{A^m}{m!} \right)
\end{align}
フロベニウスの定理
$A$ の固有方程式の（重根を含めた）$n$ 個の解を $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ とする。
このとき次が成り立つ。
- $p(A)$ の固有方程式の（重根を含めた）$n$ 個の解は $p(\lambda_1), p(\lambda_2), \cdots, p(\lambda_n)$ となる。
- $e^A$ の固有方程式の（重根を含めた）$n$ 個の解は $e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, \cdots, e^{\lambda_n}$ となる。
ケーリー・ハミルトンの定理
\begin{align}
\chi_A(A) = O
\end{align}
最小多項式
行列 $A$ に対して多項式集合 $I(A)$ を次のように定義する。
\begin{align}
I(A) = \{ p(x) | p(x) \mbox{は複素係数の多項式、かつ } p(A)=O \}
\end{align}
$I(A)$ に属し、最高次数の係数が $1$ であり、次数が最小のものを
「最小多項式」といい、
$\mu_A(x)$ と書く。
対角化
行列 $A$ が対角化可能であるとは
正則な行列 $P \in R^{n\times n}$ が存在して
$P^{-1}AP$ が対角行列できることをいう。
\begin{align}
P^{-1}AP = \mbox{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) = \Lambda
\end{align}
$P=[\boldsymbol{p}_1,\cdots,\boldsymbol{p}_n]$ とすると、
\begin{align}
& AP = PP^{-1}AP = P\Lambda \\
& A\boldsymbol{p}_i = \lambda_i, \;\;\; \mbox{for all}\;\; i
\end{align}
なので、$\lambda_i$、$\boldsymbol{p}_i$ は
固有値とそれに属する固有ベクトルである。
ジョルダンの標準形
(工事中)