基本

必要十分条件

集合

いろいろな集合

$\mathbb{N}$：自然数の集合
$\mathbb{Z}$：整数の集合
$\mathbb{Q}$：有理数の集合
$\mathbb{R}$：実数の集合
$\mathbb{C}$：複素数の集合

上界・下界・上限・下限

順序関係が与えられた $X$ の部分集合 $A \subseteq X$ について

$X$ の元 $x_0$ が $A$ の上界である $\Leftrightarrow$ $A$の任意の元$a$に対して $a \le x_0$ であること。
$A$は上に有界である $\Leftrightarrow$ $A$の上界全体の集合 $U[A]$ が空集合でない。
$A$の上限、$\sup (A)$ ： $U[A] \ne \phi$ のとき $U[A]$の最小元。
$X$ の元 $y_0$ が $A$ の下界である $\Leftrightarrow$ $A$の任意の元$a$に対して $y_0 \le a$ であること。
$A$は下に有界である $\Leftrightarrow$ $A$の下界全体の集合$L[A]$が空集合でない
$A$の下限、$inf(A)$： $L[A] \ne \phi$ のとき $L[A]$の最大元。